开集的构造:若$S$是$\mathbf{R}$上的非空开集，则$S$可以表示成有限或可数个互不相交的开区间之并.

为证明此定理，先介绍一个引理.

$S\subseteq \mathbf{R}$,且$S$中的每一个点都是$S$的孤立点，则$S$是至多可数集.

证明：由于$S$中的每一个点都是$S$的孤立点，因此$\forall z\in S$,都存在相应的正实数$\varepsilon$,使得$(z-\varepsilon,z+\varepsilon)\bigcap S=\{a\}$.在区间$(z-\varepsilon,z+\varepsilon)$中必定存在有理数.可见，存在从$S$到有理数集$\mathbf{Q}$的单射(为什么?).由于$\mathbf{Q}$是可数集，因此$S$是至多可数集(为什么?).$\Box$

 

 

 

下面开始证明定理：由于$S$非空，因此存在$a\in S$,再加上$S$是开集，因此存在正实数$\varepsilon,\delta$,使得$(a-\varepsilon,a+\delta)\subseteq S$.我们知道，这里的$\varepsilon$和$\delta$可以有多种选择，而不一定是唯一的.但是所有满足条件的$\varepsilon$可以形成一个集合$G_a$.所有满足条件的$\delta$可以形成一个集合$H_a$.从的观点来看，集合$G_a$必有上确界$\sup (G_a)$,集合$H_a$必有上确界$\sup (H_a)$.(上确界可能是$+\infty$).容易证明，\begin{equation}\label{eq:23_17_37}(a-\sup(G_a),a+\sup(H_a))=\bigcup_{\varepsilon\in G_a,\delta\in H_a}(a-\varepsilon,a+\delta)\end{equation}(为什么?)下面我要证明，\begin{equation}\label{eq:23.17.39}(a-\sup(G_a),a+\sup(H_a))\subseteq S\end{equation},为此只用证明$\bigcup_{\varepsilon\in G_a,\delta\in H_a}(a-\varepsilon,a+\delta)\subseteq S$.而这是显然的.

$\forall x\in S$,把$x$进行和$a$一样的处理，我们会得到区间$(x-\sup(G_x),x+\sup(H_x))$.下面我们看区间集合$((x-\sup(G_x),x+\sup(H_x)))_{x\in S}$.这个区间集合里的任意两个区间，不是重合就是不相交(为什么?).而且$S\subseteq \bigcup_{x\in S}(x-\sup(G_x),x+\sup(H_x))$(为什么?),且$\bigcup_{x\in S}(x-\sup(G_x),x+\sup(H_x))\subseteq S$(为什么?提示:结合\ref{eq:23.17.39}),因此$S=\bigcup_{x\in S}(x-\sup(G_x),x+\sup(H_x))$.这样，我们就把$S$分解成了互不相交的开区间的并.

而且，根据引理，可得这些开区间是至多可数的.(为什么?提示:取每个开区间中的点,形成一个点集，这个点集中的每个点都是孤立点.而且这个点集可以和开区间集形成双射.)命题证毕.$\Box$